А1 (базовый уровень, время – 1 мин)
Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.
Что нужно знать:
• перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)
Полезно помнить, что в двоичной системе:
• четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;
• числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей
• если число N принадлежит интервалу 2k-1 N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125:
26 = 64 125 < 128 = 27, 125 = 11111012 (7 цифр)
• числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:
16 = 24 = 100002
• числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например:
15 = 24-1 = 11112
• если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2•N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
15 = 11112, 30 = 111102, 60 = 1111002, 120 = 11110002
• отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде (подробнее см. презентацию «Компьютер изнутри»)
• для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
o перевести число a-1 в двоичную систему счисления
o сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки (см. пример далее)
Пример задания:
Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 6 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
1) 6310 * 410 2) F816 + 110 3) 3338 4) 111001112
Решение:
1) нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее и чисел, в которых ровно 6 единиц;
2) для первого варианта переведем оба сомножителя в двоичную систему:
63¬10 = 111111¬2 410 = 100¬2
в первом числе ровно 6 единиц, умножение на второе добавляет в конец два нуля:
63¬10 * 410 = 111111¬2 * 100¬2 = 111111¬002
то есть в этом числе 6 единиц
3) для второго варианта воспользуемся связью между шестнадцатеричной и двоичной системами счисления: каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):
F¬16 = 1111¬2 816 = 100¬02 F816 = 1111 10002
после добавления единицы F816 + 1 = 1111 10012 также получаем число, содержащее ровно 6 единиц, но оно меньше, чем число в первом варианте ответа
4) для третьего варианта используем связь между восьмеричной и двоичной системами: каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр:
3338 = 011 011 011¬2 = 110110112
это число тоже содержит 6 единиц, но меньше, чем число в первом варианте ответа
5) последнее число 111001112 уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 6 единиц, но меньше первого числа
6) таким образом, все 4 числа, указанные в вариантах ответов содержат ровно 6 единиц, но наибольшее из них – первое
7) Ответ: 1.
Ещё пример задания:
Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?
1) 1 2) 2 3) 10 4) 11
Решение (вариант 1, прямой перевод):
8) переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 = 10000000001¬2
9) считаем единицы, их две
10) Ответ: 2
Возможные проблемы:
легко запутаться при переводе больших чисел.
Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки):
1) тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки, где 1024 = 210 и 1 = 20
2) таким образом, 1025= 1024 + 1 = 210 + 20
3) вспоминая, как переводится число из двоичной системы в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2
4) Ответ: 2
Возможные проблемы:
нужно помнить таблицу степеней двойки.
Когда удобно использовать:
• когда число чуть больше какой-то степени двойки
Ещё пример задания:
Дано: и . Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?
1) 110110012 2) 110111002 3) 110101112 4) 110110002
Общий подход:
перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну (любую!) систему счисления и сравнить.
Решение (вариант 1, через десятичную систему):
5)
6)
7) переводим в десятичную систему все ответы:
110110012 = 217, 11011100 2= 220, 110101112 = 215, 110110002=216
8) очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216
9) таким образом, верный ответ – 4 .
Возможные проблемы:
арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную.
Решение (вариант 2, через двоичную систему):
1) (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду);
2) (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать);
3) теперь нужно сообразить, что между этими числами находится только двоичное число 110110002 – это ответ 4.
Возможные проблемы:
запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко запутаться и сделать ошибку.
Решение (вариант 3, через восьмеричную систему):
1) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);
2) , никуда переводить не нужно;
3) переводим в восьмеричную систему все ответы:
110110012 = 011 011 0012 = 3318 (разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, как в п. 1)
11011100 2= 3348, 110101112 = 3278, 110110002=3308
4) в восьмеричной системе между числами 3278 и 3318 может быть только 3308
5) таким образом, верный ответ – 4 .
Возможные проблемы:
нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 7 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).
Решение (вариант 4, через шестнадцатеричную систему):
1) никуда переводить не нужно;
2) (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);
3) переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:
110110012 = 1101 10012 = D916 (разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили на буквы – A, B, C, D, E, F, как в п. 1)
11011100 2= DC16, 110101112 = D716, 110110002=D816
4) в шестнадцатеричной системе между числами D716 и D916 может быть только D816
5) таким образом, верный ответ – 4 .
Возможные проблемы:
нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).
Выводы:
• есть несколько способов решения, «каждый выбирает для себя»;
• наиболее сложные вычисления – при переводе всех чисел в десятичную систему, можно легко ошибиться;
• сравнивать числа в двоичной системе сложно, также легко ошибиться;
• видимо, в этой задаче наиболее простой вариант – использовать восьмеричную систему, нужно просто запомнить двоичные записи чисел от 0 до 7 и аккуратно все сделать;
• в других задачах может быть так, что выгоднее переводить все в десятичную или шестнадцатеричную систему счисления.
Еще пример задания:
Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
Решение (вариант 1, классический):
1) переводим число 78 в двоичную систему счисления:
78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102
2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:
78 = 010011102
4) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):
010011102 → 101100012
5) добавляем к результату единицу
101100012 + 1 = 101100102
это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
6) в записи этого числа 4 единицы
7) таким образом, верный ответ – 2 .
Возможные ловушки и проблемы:
• нужно не забыть в конце добавить единицу, причем это может быть не так тривиально, если будут переносы в следующий разряд – тут тоже есть шанс ошибиться из-за невнимательности
Решение (вариант 2, неклассический):
1) переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:
77 = 64 + 8 + 4 + 1 = 26 + 23 + 22 + 20 = 10011012
2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:
77 = 010011012
4) делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):
010011012 → 101100102
это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
5) в записи этого числа 4 единицы
6) таким образом, верный ответ – 2 .
Возможные ловушки и проблемы:
• нужно помнить, что в этом способе в двоичную систему переводится не число a, а число
a-1; именно этот прием позволяет избежать добавления единицы в конце (легче вычесть в десятичной системе, чем добавить в двоичной)
Решение (вариант 3, неклассический):
1) переводим число 78 в двоичную систему счисления:
78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102
2) по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
3) чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:
78 = 010011102
4) для всех битов, которые стоят слева от младшей единицы, делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):
010011102 → 101100102
это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде
5) в записи этого числа 4 единицы
6) таким образом, верный ответ – 2 .
Возможные ловушки и проблемы:
• нужно помнить, что при инверсии младшая единица и все нули после нее не меняются
Задачи для тренировки :
1) Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?
1) 10010112 2) 11001012 3) 10100112 4) 1010012
2) Сколько единиц в двоичной записи числа 195?
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
3) Сколько единиц в двоичной записи числа 173?
1) 7 2) 5 3) 6 4) 4
4) Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?
1) 10012 2) 110012 3) 100112 4) 110102
5) Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?
1) 10100102 2) 10100112 3) 1001012 4) 10001002
6) Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?
1) 3018 2) 6508 3) 4078 4) 7778
7) Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?
1) 10111012 2) 1001101112 3) 1011101112 4) 111101112
8) Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?
1) 4358 2) 15778 3) 52078 4) 64008
9) Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?
1) 73816 2) 1A416 3) 1EC16 4) A5616
10) Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
11) Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35)?
1) 3 2) 4 3) 5 4) 6
12) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 100110102 2) 100111102 3) 100111112 4) 110111102
13) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 111110012 2) 110110002 3) 111101112 4) 111110002
14) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 110110102 2) 111111102 3) 110111102 4) 110111112
15) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 111010102 2) 111011102 3) 111010112 4) 111011002
16) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 111010102 2) 111010002 3) 111010112 4) 111011002
17) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 110100112 2) 110011102 3) 110010102 4) 110011002
18) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 111000112 2) 110110102 3) 101011012 4) 110111012
19) Сколько единиц в двоичной записи числа 64?
1) 1 2) 2 3) 4 4) 6
20) Сколько единиц в двоичной записи числа 127?
1) 1 2) 2 3) 6 4) 7
21) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 48?
1) 1 2) 2 3) 4 4) 6
22) Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?
1) 1 2) 2 3) 4 4) 8
23) Какое из чисел является наименьшим?
1) E616 2) 3478 3) 111001012 4) 232
24) Какое из чисел является наибольшим?
1) 9B16 2) 2348 3) 100110102 4) 153
25) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002
26) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 110110102 2) 111111102 3) 110111112 4) 110111102
27) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 100010102 2) 100011102 3) 100100112 4) 100011002
28) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 111010102 2) 111011102 3) 111011002 4) 111010112
29) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 101010102 2) 101111002 3) 101000112 4) 101011002
30) Сколько единиц в двоичной записи числа 173?
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
31) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 10000002 2) 10001102 3) 10001012 4) 10001112
32) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 100010012 2) 100011002 3) 110101112 4) 111110002
33) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в шестнадцатеричной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) AA16 2) B816 3) D616 4) F016
34) Дано: , . Какое из чисел Z, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 1111110012 2) 1111001112 3) 1101111002 4) 1101101112
35) Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?
1) 101110102 2) 101010102 3) 1010101002 4) 101000102
36) Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 513?
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
37) Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 497?
1) 5 2) 2 3) 3 4) 4
38) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 3 единицы.
1) 1 2) 11 3) 3 4) 33
39) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 2 единицы.
1) 7 2) 11 3) 12 4) 15
40) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 4 единицы.
1) 15 2) 21 3) 32 4) 35
41) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 2 единицы.
1) 14 2) 16 3) 18 4) 31
42) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 3 единицы.
1) 8 2) 10 3) 12 4) 14
43) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество единиц.
1) 13 2) 14 3) 15 4) 16
44) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество единиц.
1) 23 2) 24 3) 25 4) 26
45) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество значащих нулей.
1) 3 2) 8 3) 11 4) 15
46) Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество значащих нулей.
1) 13 2) 18 3) 21 4) 25
47) Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
Сколько среди них чисел, больших, чем А416 +208?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
48) Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10101011, 11001100, 11000111, 11110100.
Сколько среди них чисел, меньших, чем BC16 +208?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
49) Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
11000000, 11000011, 11011001, 11011111.
Сколько среди них чисел, больших, чем AB16 +258?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
50) Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10111010, 10110100, 10101111, 10101100.
Сколько среди них чисел, меньших, чем 9C16 +378?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
51) Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
1) 3110 * 810 + 110 2) F016 + 110 3) 3518 4) 111000112
52) Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 4 единицы. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
1) 1510 * 1610 + 410 2) D716 + 110 3) 3448 4) 111000012
53) Сколько единиц в троичной записи десятичного числа 243?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
54)) Сколько единиц в троичной записи десятичного числа 242?
1) 0 2) 2 3) 4 4) 6
